Modelo Substitution

En la biología, un modelo de substitución describe el proceso del cual una secuencia de caracteres cambia en otro juego de rasgos. Por ejemplo, en cladistics, cada posición en la secuencia podría equivaler a una propiedad de una especie que puede estar presente u o ser ausente. El alfabeto podría consistir entonces en "0" para la ausencia y "1" para la presencia. Entonces la secuencia 00110 podría significar, por ejemplo, que una especie no tiene plumas o pone huevos, realmente tiene la piel, es de sangre caliente, y no puede respirar bajo el agua. Otra secuencia 11010 significaría que una especie tiene plumas, pone huevos, no tiene la piel, es de sangre caliente, y no puede respirar bajo el agua. En phylogenetics, las secuencias a menudo se obtienen obteniendo en primer lugar un nucleotide o alineación de la secuencia de la proteína, y luego tomando las bases o aminoácidos en posiciones correspondientes en la alineación como los caracteres. Las secuencias conseguidas por esto podrían parecer a AGCGGAGCTTA y GCCGTAGACGC.

Los modelos de substitución se usan para varias cosas:

  1. La construcción de árboles evolutivos en phylogenetics o cladistics.
  2. La simulación de secuencias para probar otros métodos y algoritmos.

Modelos de sitios neutros, independientes, finitos

La mayor parte de modelos de substitución usados hasta ahora son modelos de sitios neutros, independientes, finitos.

Neutro: la Selección no actúa sobre las substituciones, y por tanto son libres.

Independiente: los Cambios de un sitio no afectan la probabilidad de cambios de otro sitio.

Sitios finitos: hay finitamente muchos sitios, y por tanto sobre la evolución, un sitio solo se puede cambiar tiempos múltiples. Esto significa que, por ejemplo, si un carácter tiene el valor 0 en el tiempo 0 y en el tiempo t, podría ser que ningunos cambios ocurrieron, o que cambió a 1 y atrás a 0, o que cambió a 1 y atrás a 0 y luego a 1 y luego atrás a 0, etcétera.

El reloj molecular y las unidades de tiempo

Típicamente, una longitud de la rama de un árbol phylogenetic se expresa como el número esperado de substituciones por sitio; si el modelo evolutivo indica que cada sitio dentro de una secuencia ancestral experimentará típicamente substituciones x cuando evoluciona a la secuencia de un descendiente particular entonces se considera que el antepasado y el descendiente son separados por la longitud de la rama x.

A veces una longitud de la rama se mide en términos de años geológicos. Por ejemplo, un registro del fósil puede hacer posible determinar el número de años entre una especie ancestral y una especie del descendiente. Como algunas especies evolucionan a precios más rápidos que otros, estas dos medidas de la longitud de la rama son no siempre en la proporción directa. El número esperado de substituciones por sitio por año a menudo se indica con la carta griega mu (μ).

Se dice que un modelo tiene un reloj molecular estricto si el número esperado de substituciones por año μ es constante sin tener en cuenta que la evolución de las especies se está examinando. Una implicación importante de un reloj molecular estricto es que el número de substituciones esperadas entre una especie ancestral y cualquier de sus descendientes actuales debe ser independiente de que la especie del descendiente se examina.

Note que la asunción de un reloj molecular estricto a menudo es poco realista, sobre todo a través de períodos largos de la evolución. Por ejemplo, aunque los roedores sean genéticamente muy similares a primates, se han sometido a un número mucho más alto de substituciones en el tiempo estimado desde la divergencia en algunas regiones del genoma. Esto podría ser debido a su tiempo de generación más corto, tasa metabólica más alta, aumentó la estructuración demográfica, el precio aumentado de speciation o el tamaño del cuerpo más pequeño. Cuando estudiar acontecimientos antiguos como la explosión de Cambrian bajo una asunción del reloj molecular, acuerdo pobre entre cladistic y datos phylogenetic a menudo se observa. Hubo un poco de trabajo de modelos que permiten la tasa variable de la evolución (ver por ejemplo y).

Los modelos que pueden tener la variabilidad en cuenta del precio del reloj molecular entre linajes evolutivos diferentes en el phylogeny se llaman "relajados" en la oposición con "el estricto". En tales modelos se puede suponer que el precio se correlacione o no entre antepasados y descendientes y la variación del precio entre linajes se puede dibujar de muchas distribuciones pero las distribuciones por lo general exponenciales y lognormal se aplican. Hay un caso especial, llamado “reloj molecular local” cuando un phylogeny se divide en al menos dos particiones (juegos de linajes) y en cada reloj molecular estricto se aplica, pero con el precio diferente.

Modelos reversibles por el tiempo e inmóviles

Muchos modelos de substitución útiles son reversibles por el tiempo; en términos de matemáticas, el modelo no se preocupa qué secuencia es el antepasado y que es el descendiente mientras que todos otros parámetros (como el número de substituciones por sitio que se espera entre las dos secuencias) se creen constantes.

Cuando un análisis de verdaderos datos biológicos se realiza, no hay generalmente ningún acceso a las secuencias de especies ancestrales, sólo a las especies actuales. Sin embargo, cuando un modelo es reversible por el tiempo, qué especie era las especies ancestrales es irrelevante. En cambio, el árbol phylogenetic se puede arraigar usando cualquiera de las especies, arraigó de nuevo más tarde basado en el nuevo conocimiento o se fue no arraigado. Esto es porque no hay ninguna especie 'especial', todas las especies se derivarán finalmente el uno del otro con la misma probabilidad.

Un modelo es el tiempo reversible si y sólo si satisface la propiedad

:

o, equivalentemente, la propiedad del equilibrio detallada,

:

para cada yo, j, y t. La nota se explica abajo.

La reversibilidad del tiempo no se debería confundir con stationarity. Un modelo es inmóvil si Q no cambia con el tiempo. El análisis abajo asume un modelo inmóvil.

Las matemáticas de modelos de substitución

Los modelos de sitios inmóviles, neutros, independientes, finitos (asunción de un precio constante de la evolución) tienen dos parámetros, un vector de equilibrio de la base (o carácter) frecuencias y una matriz del precio, Q, que describe el precio al cual las bases de un tipo cambian en bases de otro tipo; el elemento ya que ≠ j soy el precio al cual la base i va para basar j. Las diagonales de la matriz Q se eligen de modo que las filas sumen al cero:

:

El vector de la fila de equilibrio π debe ser aniquilado por la matriz del precio Q:

:

La función de la matriz de transición es una función de las longitudes de la rama (en algunas unidades del tiempo, posiblemente en substituciones), a una matriz de probabilidades condicionales. Se denota. La entrada en yo la columna y la fila j, son la probabilidad, después del tiempo t, que hay una base j en una posición dada, que depende de ser allí una base i en esa posición en el tiempo 0. Cuando el modelo es el tiempo reversible, esto se puede realizar entre cualquier dos secuencia, aun si uno no es el antepasado del otro, si sabe la longitud de la rama total entre ellos.

Las propiedades asintóticas de P (t) son tales que P (0) = δ, donde δ es la función del delta de Kronecker. Es decir no hay ningún cambio de la composición baja entre una secuencia y él. En el otro extremo, o, en otras palabras, cuando el tiempo va al infinidad la probabilidad de encontrar la base j en una posición dada allí era una base i en esa posición al principio va a la probabilidad de equilibrio que hay base j en esa posición, sin tener en cuenta la base original. Además, resulta que para todo t.

La matriz de transición se puede calcular de la matriz del precio vía la matriz exponentiation:

:

donde Q es la matriz Q multiplicado por sí mismo bastantes veces para dar su poder n.

Si Q es diagonalizable, la matriz exponencial se puede calcular directamente: deje a Q = U Λ U ser un diagonalization de Q, con

:

\lambda_1 & \ldots & 0 \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \ldots & \lambda_4

\end {pmatrix }\\,

</matemáticas>

donde Λ es una matriz diagonal y donde están el eigenvalues de Q, cada uno repetido según su multiplicidad. Entonces

:

donde la matriz diagonal e da

:

e^ {\\lambda_1 t\& \ldots & 0 \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \ldots & e^ {\\lambda_4 t }\

\end {pmatrix }\\.

</matemáticas>

GTR: tiempo generalizado reversible

GTR es el neutro más general, independiente, sitios finitos, modelo reversible por el tiempo posible. Fue descrito primero en una forma general por Simon Tavaré en 1986.

Los parámetros GTR para nucleotides consisten en un vector de frecuencia de la base de equilibrio, dando la frecuencia en la cual cada base ocurre en cada sitio y la matriz del precio

:

Como el modelo debe ser el tiempo reversible y se debe acercar al equilibrio nucleotide frecuencias (bajas) en muchos tiempos, cada precio debajo de la diagonal iguala el precio recíproco encima de la diagonal multiplicada por la proporción equlibrium de las dos bases. Como tal, el nucleotide GTR requiere 6 parámetros del precio de substitución y 4 parámetros de frecuencia de la base de equilibrio. Ya que los 4 parámetros de frecuencia deben sumar a 1, hay sólo 3 parámetros de frecuencia libres. El total de 9 parámetros libres a menudo se reduce adelante a 8 parámetros más, el número total de substituciones por unidad de tiempo. Midiendo el tiempo en substituciones (=1) sólo 8 parámetros libres permanecen.

En general, para calcular el número de parámetros, cuenta el número de entradas encima de la diagonal en la matriz, es decir para valores del rasgo n por sitio



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