El teorema de irreductibilidad de Hilbert

En la teoría numérica, el teorema de irreductibilidad de Hilbert, concebido por David Hilbert, declara que cada número finito de polinomios irreducibles en un número finito de variables y teniendo coeficientes del número racional admite una especialización común de un subconjunto apropiado de las variables a números racionales tales que todos los polinomios permanecen irreducibles. Este teorema es un teorema prominente en la teoría numérica.

Formulación del teorema

El teorema de irreductibilidad de Hilbert. Deje

a

:

esté polinomios irreducibles en el anillo

:

Entonces allí existe un r-tuple de números racionales (a..., a) tal que

:

son

irreducibles en el anillo

:

Comentarios.

Aplicaciones

El teorema de irreductibilidad de Hilbert tiene numerosas aplicaciones en teoría numérica y álgebra. Por ejemplo:

::

:then se puede especializar a una extensión de Galois N de los números racionales con G como su grupo de Galois. (Para ver esto, elija un polinomio irreducible monic f (X, …, X, Y) cuya raíz genera N sobre E. Si f (a, …, a, Y) es irreducible para algún a, entonces una raíz de ello generará N. afirmado)

:.

(Las pruebas más elementales existen.) El mismo resultado es verdad cuando "el cuadrado" es sustituido por "el cubo", "cuarto poder", etc.

Generalizaciones

Se ha formulado de nuevo y se ha generalizado extensivamente, usando la lengua de la geometría algebraica. Ver el juego delgado (Serre).



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