El teorema de Fredholm

En matemáticas, los teoremas de Fredholm son un juego de resultados famosos de Ivar Fredholm en la teoría de Fredholm de ecuaciones integrales. Hay varios teoremas estrechamente relacionados, que se pueden declarar en términos de ecuaciones integrales, en términos de álgebra lineal, o en términos de operador de Fredholm en espacios de Banach.

La alternativa Fredholm es uno de los teoremas de Fredholm.

Álgebra lineal

El teorema de Fredholm en el álgebra lineal es así: si el M es una matriz, entonces el complemento ortogonal del espacio de la fila del M es el espacio nulo del M:

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Del mismo modo, el complemento ortogonal del espacio de la columna del M es el espacio nulo del adjoint:

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Ecuaciones integrales

El teorema de Fredholm para ecuaciones integrales se expresa así. Deje ser un grano integral y considerar las ecuaciones homogéneas

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y su complejo adjoint

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Aquí, denota el complejo conjugado del número complejo, y de manera similar para. Entonces, el teorema de Fredholm es que, para cualquier valor fijo de, estas ecuaciones tienen la solución trivial o tienen el mismo número de soluciones en línea recta independientes.

Una condición suficiente para este teorema para sostener es para ser cuadrada integrable en el rectángulo (donde a y/o b pueden ser menos o más el infinidad).

Aquí, la integral se expresa como una integral de una dimensión en la línea del número real. En la teoría Fredholm, este resultado generaliza a operadores integrales en espacios multidimensionales, incluso, por ejemplo, distribuidores de Riemannian.

Existencia de soluciones

Uno del teorema de Fredholm estrechamente relacionado a la alternativa de Fredholm, concierne la existencia de soluciones de la ecuación de Fredholm no homogénea

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Las soluciones de esta ecuación existen si y sólo si la función es ortogonal al juego completo de soluciones de la ecuación adjoint homogénea correspondiente:

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donde está el complejo conjugado de y el antiguo es uno del juego completo de soluciones de

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Una condición suficiente para este teorema para sostener es para ser cuadrada integrable en el rectángulo.



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