Cero de Siegel

En matemáticas, más expresamente en el campo de la teoría numérica analítica, un cero de Siegel, nombrado por Carl Ludwig Siegel, es un tipo del contraejemplo potencial a la hipótesis de Riemann generalizada, en el zeroes de la L-función Dirichlet.

Hay valores hipotéticos s de una variable compleja, muy cerca (en un sentido cuantificable) a 1, tales que

:L (s,&chi) = 0

para un carácter de Dirichlet χ, al módulo los q dicen. Los resultados importantes en este tipo del cero de una L-función fueron obtenidos en los años 1930 por Carl Ludwig Siegel, de quien toman su nombre (no era el primero en considerarlos, y los llaman a veces Landó-Siegel zeroes también para reconocer el trabajo de Edmund Landau).

La posibilidad de un cero de Siegel en términos analíticos lleva a una estimación ineficaz

:L (1,&chi)> C (&epsilon) q

donde C es una función de ε para el cual la prueba no provee explícito más abajo ligado (ver resultados eficaces en la teoría numérica).

La importancia de Siegel posible zeroes se ve en todos los resultados conocidos en las regiones sin ceros de L-funciones: muestran una especie de 'mella' cerca de s = 1, por otra parte generalmente pareciéndose a esto para Riemann los zeta funcionan — es decir son a la izquierda de la línea Re (s) = 1, y asintótico a ello. A causa de la fórmula del número de clasificación analítica, los datos de Siegel zeroes tienen un impacto directo en el problema del número de clasificación, de dar límites inferiores para números de clasificación. Esta pregunta vuelve a C. F. Gauss. Lo que Siegel mostró era que tales zeroes son de un tipo particular (a saber, que sólo pueden ocurrir para χ un verdadero carácter, que debe ser un símbolo de Jacobi); y, que para cada módulo q puede haber en la mayor parte un tal. Esto era por un argumento 'que se enrosca', implícitamente sobre la L-función de campos biquadratic. Esto en cierto modo aisló el cero de Siegel como un caso especial de GRH (que demostraría que no existió). En el desarrollo subsecuente, sin embargo, la información detallada del cero de Siegel no lo ha mostrado para ser imposible. El trabajo del problema del número de clasificación ha estado progresando en cambio por métodos de trabajo de Kurt Heegner, de la teoría de la transcendencia, y luego trabajo de Dorian Goldfeld combinado con el teorema Grueso-Zagier en puntos de Heegner.



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