Método del Ritz

El método del Ritz es un método directo de encontrar una solución aproximada para problemas del valor límite. El método se nombra por Walter Ritz.

En la mecánica cuántica, un sistema de partículas se puede describir en términos de "energía funcional" o hamiltoniano, que medirá la energía de cualquier configuración propuesta de partículas dichas. Resulta que ciertas configuraciones privilegiadas son más probables que otras configuraciones, y esto tiene que ver con el eigenanalysis ("el análisis de características") de este sistema hamiltoniano. Como a menudo es imposible analizar todas las configuraciones infinitas de partículas para encontrar la que con la menor parte de cantidad de la energía, se hace esencial ser capaz de acercarse esto hamiltoniano de algún modo para cálculos numéricos.

El método del Ritz puede ser usado para conseguir este objetivo. En la lengua de matemáticas, es exactamente el método de los elementos finitos usado para calcular el eigenvectors y eigenvalues de un sistema hamiltoniano.

Discusión

Como con otros métodos variational, una función de onda de juicio, se prueba en el sistema. Esta función de juicio se selecciona para encontrar condiciones de frontera (y cualquier otra coacción física). La función exacta no se conoce; la función de juicio contiene uno o varios parámetros ajustables, que se varían para encontrar la configuración de la energía más baja.

Se puede mostrar que la energía del estado de la tierra, satisface una desigualdad:

:

Es decir la energía estatal por la tierra es menos que este valor.

La función de la onda de juicio siempre dará un valor de la expectativa más grande que la energía de la tierra (o al menos, igual a ello).

Si se conoce que la función de onda de juicio es ortogonal al estado de la tierra, entonces proporcionará un límite a la energía de algún estado excitado.

El Ritz ansatz función es una combinación lineal de N funciones de base conocidas, parametrized por coeficientes desconocidos:

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Con un hamiltoniano conocido, podemos escribir su valor esperado como

:

Las funciones de base no son por lo general ortogonales, de modo que la matriz del traslapo S tenga elementos no diagonales distintos a cero. O (la conjugación del primer) puede ser usado para minimizar el valor de la expectativa. Por ejemplo, haciendo los derivados parciales de sobre el cero, la igualdad siguiente se obtiene para cada k = 1, 2..., N:

:

que lleva a un juego de ecuaciones seculares N:

:

En las susodichas ecuaciones, la energía y los coeficientes son desconocidos. Con respecto a c, esto es un juego homogéneo de ecuaciones lineales, que tiene una solución cuando el determinante de los coeficientes a estos unknowns es el cero:

:

que por su parte sólo es verdad para valores N de. Además, ya que el hamiltoniano es un operador hermitian, la matriz H también es hermitian y los valores de serán verdaderos. El valor más bajo entre (i=1,2.., N), será la mejor aproximación al estado de la tierra para las funciones de base usadas. Las energías n-1 restantes son estimaciones de energías estatales excitadas. Una aproximación para la función de onda del estado me puedo obtener encontrando los coeficientes de la ecuación secular correspondiente.

La relación con el método de los elementos finitos

En la lengua del método de los elementos finitos, la matriz es exactamente la matriz de la rigidez del hamiltoniano en el espacio del elemento lineal piecewise, y la matriz es la matriz de masas. En la lengua del álgebra lineal, el valor es un eigenvalue del hamiltoniano discretized, y el vector es un discretized eigenvector.

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